...Un pò di Aritmetica non guasta...

Cominciamo questo breve post con una citazione di Gauss(1777-1855), il più grande matematico dei tempi moderni,nella quale esprime il suo giudizio sulla Teoria dei Numeri:
“La Matematica è la regina delle scienze e la Teoria dei Numeri è la regina della matematica.”
Definiamo ora un Numero Primo:un primo è un numero intero p , maggiore di 1,che non ammette divisori diversi da se stesso e 1.
A questo punto enunciamo il seguente

Teorema Fondamentale dell’Aritmetica:
Ogni numero intero N maggiore di 1 può essere scomposto in modo unico in un prodotto di primi.

Tralasciamo per il momento la dimostrazione di tale teorema, ricordando come la dimostrazione classica sia dovuta ad Euclide ed è basata su un metodo o Algoritmo di ricerca del massimo comun divisore di due numeri , noto col nome di Algoritmo Euclideo.Tale algoritmo si basa a sua volta sul seguente enunciato:
Se a è un numero intero e b è un altro numero intero maggiore di 0, si può sempre trovare un numero intero q tale che:

dove è r un numero intero che soddisfa alla disuguaglianza

Dunque dividendo a per b si ha come resto r e quoziente q e vale la relazione su indicata dal Teorema.

Il modo più generale per rappresentare un numero intero z nel sistema decimale consiste nell’esprimerlo nella forma :

e indicarlo col simbolo


Si vede subito come le cifre

sono semplicemente i resti delle divisioni successive di per 10.Nel Sistema posizionale decimale si è scelto come base il numero 10..Il profano può non rendersi conto che la scelta del dieci non è essenziale , e che ogni numero intero maggiore di uno potrebbe servire allo scopo. Si potrebbe, per esempio , usare un sistema BINARIO.Dal punto di vista teorico, il sistema posizionale in base 2 è quello con la base più piccola possibile.Le sole cifre in questo sistema binario sono 0 o 1 ; ogni altro numero si rappresenta con una serie di questi simboli.Le tavole di addizione e moltiplicazione consistono semplicemente nelle regole:
1+1=10 e 1 * 1= 1.
Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716),uno dei più grandi intellettuali del suo tempo , era entusiasta del sistema binario .Per citare Laplace:”Leibnitz vide in questa aritmetica binaria l’immagine della creazione.Egli immaginò che l’Unità rappresentasse Dio e lo zero il vuoto; e che l’Ente Supremo avesse tratto tutti gli esseri dal vuoto , precisamente come l’unità e lo zero esprimono tutti i numeri in questo sistema di numerazione.”